Cálculo 1

Definiciones de derivada

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y {\displaystyle y\,} cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x {\displaystyle x\,} .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto P {\displaystyle P\,} de la función por el resultado de la división representada por la relación d y d x {\displaystyle \textstyle {\frac {dy}{dx}}} , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto P {\displaystyle P\,} de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto P {\displaystyle P\,} , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de d y d x {\displaystyle \textstyle {\frac {dy}{dx}}} es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

Límite como cociente de diferencias

Recta secante entre f(x) y f(x+h)

La derivada de una función f {\displaystyle f\,} es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de f {\displaystyle f\,} en x {\displaystyle x\,} . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))\,} . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número h {\displaystyle h\,} relativamente pequeño. h {\displaystyle h\,} representa un cambio relativamente pequeño en x {\displaystyle x\,} , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))\,} y ( x + h , f ( x + h ) ) {\displaystyle (x+h,f(x+h))\,} es:

Q ( h ) = f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle Q(h)={f(x+h)-f(x) \over h}} .

Inclinación de la secante de la curva y=f(x)

expresión denominada «cociente de Newton».​

La derivada de f {\displaystyle f} en x {\displaystyle x} es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle \displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}} .

Si la derivada de f {\displaystyle f\,} existe en todos los puntos x {\displaystyle x\,} , se puede definir la derivada de f {\displaystyle f\,} como la función cuyo valor en cada punto x {\displaystyle x\,} es la derivada de f {\displaystyle f\,} en x {\displaystyle x\,} .

Puesto que sustituir h {\displaystyle h\,} por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h {\displaystyle h\,} del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Continuidad y diferenciabilidad

Artículo principal: Función continua

Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que

f ( x + Δ x ) = y + Δ y {\displaystyle f(x+\Delta x)=y+\Delta y} .

Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − y = 0 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-y=0}

con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)} , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

lim x → a + f ( x ) = lim x → a − f ( x ) = lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)=\lim _{x\to a-}f(x)=\lim _{x\to a}f(x)=f(a)}

es continua en el punto a. Como consecuencia lógica, toda función derivable en el intervalo abierto I, es continua en I.

Condición necesaria

La función valor absoluto no tiene derivada en el punto (0,0).

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo — recurrente en la literatura usual — puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)\,} . Dicha función se expresa:

abs ⁡ ( x ) = | x | = { − x , si x < 0 x , si x ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {abs} (x)=|x|=\left\{{\begin{array}{rll}-x,&{\mbox{si}}&x<0\\x,&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:

abs ′ ⁡ ( x ) = | x | ′ = { − 1 , si x < 0 1 , si x > 0 {\displaystyle \operatorname {abs} '(x)=|x|'=\left\{{\begin{array}{rll}-1,&{\mbox{si}}&x<0\\1,&{\mbox{si}}&x>0\end{array}}\right.}

Cuando x {\displaystyle x\,} vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que la función sea continua en dicho punto.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x| es diferenciable para todo x.

Derivada de una función

Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, ya que el «swing» de una función cambia cuando cambia el argumento.

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto a {\displaystyle a\,} se define como sigue:

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} ,

si este límite existe, de lo contrario, f ′ {\displaystyle f'} , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniformemente acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su composición sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de teoremas anteriores de límites.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

f ′ ( a ) = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle f'(a)=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}} ,

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de a {\displaystyle a\,} . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, es posible demostrar que el cálculo de la derivada con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.